*** KERGUELEN ***

Réponse… Enigme 157 – Un calcul mental pas si difficile…

     Eh bien, en fait je vous ai tout mâché ou presque.

En effet quand on divise un nombre par 7, les chiffres après la virgule respectent une suite logique récurrente. Cette suite récurrente est justement 1 ,4 ,2 ,8 ,5 ,7. Ce qui donne après la virgule la combinaison perpétuelle de…

142857 142857 142857 142857…/… et ainsi de suite, Ad Vitam Aeternam !

Si vous trouvez après la virgule comme premier chiffre de la division, le 2 par exemple, eh bien il faut commencer la suite récurrente à partir de ce 2 et continuer la suite par les chiffres  285714  285714  285714  etc etc… Si c’était le cas du 5, cela donnerait la suite… 571428  571428  571428, …/…etc, etc… Il suffit de trouver le premier chiffre tout de suite après la virgule pour connaître tous les autres ensuite. Il faut « seulement » se souvenir de cette suite récurrente associée à 7.

Il sera donc aisé de calculer le 100 ième ou le millième chiffre après la virgule car, il suffit de diviser par 6 le nombre de chiffres à trouver après la virgule et on compte « la suite récurrente » pour trouver le bon chiffre à partir du premier calculé lui, après cette virgule.

Ainsi le cent quatorzième (par exemple pris au hasard) sera… 114 : 6 = 19 cela donne donc 19 combinaisons entières de suites récurrentes (142857). Le 114 ième sera donc le dernier de la série et sera un 7 (puisque la série ici commence par le 1 : on trouve 1 juste après la virgule).  Ici le nombre est divisible par 6, c’est un hasard. Pour le  600 ième après la virgule, idem (divisible par 6). Ce sera donc un 7.

Si ce n’est pas le cas, il faut donc rechercher dans la suite récurrente, le chiffre après (ou avant) permettant de tomber sur un nombre multiple de 6 en conservant toujours en tête cet ordre récurrent 142857. Prenons le cas de 116. Les deux nombres multiples de 6 les plus proches de 116 sont 114 (6X19) et 120 (6X20). Entre les deux, on trouve donc la suite récurrente 142857. On peut alors affirmer (sans réel calcul) que :

Au 114 ième, ce sera un 7

Au 115 ième, ce sera un 1

Au 116 ième, ce sera un 4

Au 117 ième, ce sera un 2

Au 118 ième, ce sera un 8

Au 119 ième, ce sera un 5

Au 120 ième, ce sera un 7 à nouveau, et la série recommence, etc…/…

Ce qui donnera…714285 714285 714285 714285 7142857…/…

Il suffirait de compter pour connaître le chiffre arrivant au numéro demandé.

Alors, vous voyez bien, vous aussi êtes capable de calculer de tête 22 à diviser par 7 en donnant le 1000 ième chiffre après la virgule. C’est un… :

1000 : 6 = 166, 666 donc j’enlève les 166 "séries entières" (inutiles pour le calcul), reste  666/1000 ièmes qui sont les "restes" de la série 142857. Et 666/1000 ièmes de restes donnent les 2/3 de la série, donc le chiffre :  8.

Explication pour « les restes » des centièmes (ou millièmes)…

De        0 à 16,66  (ou 1/6 ième) cela donnera le 1

De 16,67 à 33,32  (ou 2/6 ième) cela donnera le 4

De 33,33 à 49,98  (ou 3/6 ième) cela donnera le 2

De 49,99 à 66,66  (ou 4/6 ième) cela donnera le 8

De 66,67 à 83,32  (ou 5/6 ième) cela donnera le 5

De 83,33 à 99,99  (ou 6/6 ième) cela donnera le 7

NB : peu importe si on compte en dixième, centième, millième, ou sixième pour ce reste… ce qui compte avant tout c’est de comprendre que ce reste est intermédiaire dans la série récurrente en respectant l’ordre de cette récurrence (142857), et peu importe par lequel de ces chiffres elle commence. La série se boucle en permanence.

Alors, ce n’est pas si difficile finalement, non ?

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