*** KERGUELEN ***

Réponse… Enigme 201 – La Pyramide impossible…

Aussi incroyable que cela puisse paraître…

1) Oui, c’est possible !

2) En ce qui concerne la pratique, là, il faudra faire appel à des lois mathématiques complexes, "les séries harmoniques" pour trouver la bonne place de chaque brique permettant ce débordement maximum de la dernière, tout en haut de la pile.

"Les séries harmoniques sont égales à la somme des inverses des nombres entiers consécutifs".

Soit pour un exemple concret avec nos briques…

Si vous empilez 30 briques*, et que vous les décalez un peu à chaque fois, le surplomb maximal d’une brique par rapport à sa précédente qui pourrait être fait au total, serait donc, d'après la série harmonique :

1+ 1/2 de L +1/3" +1/4"+ .../… + 1/27" +1/28" + 1/29" + 1/30ième de L.

* 30 briques empilées donneront une hauteur de… 30X 7 cm = 2,10 m au total.

     Théoriquement, si on dispose d'un nombre suffisant de briques, on pourrait réaliser un empilement permettant un surplomb aussi débordant qu’incroyable ! Mais pour cela le nombre de briques devient vite phénoménal… En effet, car il sera toujours égal à la somme des inverses du nombre de briques utilisées (et une série harmonique tend vers l'infini). Au final, et c'est un paradoxe, ce sont les briques du haut principalement qui permettent un décalage important. Plus on descend et plus il faut diminuer ce décalage. Mais il est toujours impressionnant de voir que le haut de la pile tient en place et ceci, hors de la portée au sol de la première du bas ! Pour voir cet effet de la physique, il faudra empiler au minimum 30 briques comme dans notre exemple.

Ce qui donne pour le calcul… (et pour résultats de cumul les lignes après)…:

Décalage harmonique : 1 + ½ + 1/3 + ¼ + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12

Dépassement : 1 - 1,5 - 1,8 - 2,2 - 2,45 - 2,616 - 2,758 - 2,883 - 2,994 - 3,094 - 3,184 - 3,267

     A la vue de ces résultats, il apparaît une chose intéressante pour le côté pratique de la démonstration, c’est qu’il faudra commencer la construction de cette pyramide par la brique du haut, la dernière en fait, pour pouvoir avoir une chance de tenir l’édifice en place. Ensuite, placer les suivantes par le dessous en respectant bien le débordement maximum autorisé par le calcul de la série harmonique (débordement qui devient de plus en plus étroit). La courbe de montage d’un tel édifice sera de forme parabolique.

     En effet, le calcul montre que la première brique devra être placée « au maximum » avec un débordement de la moitié de la longueur de sa brique inférieure (la seconde dessous).

Puis la suivante (la troisième) devra être placée au maximum à un tiers de la longueur sous la seconde, (la précédente).

La quatrième à un quart de longueur…

La cinquième, de un cinquième de longueur…

Etc…etc…

Bien sûr, dans la pratique, il faudrait que le décalage des briques entre elles, soit très légèrement inférieur au calcul théorique (de la progression harmonique), sinon, il serait impossible de réaliser cet empilement de façon suffisement "stable" pour qu'il tienne réellement debout…

Mais, autre remarque importante…

…Partant de ce constat théorique, on voit que la place des premières briques placées au sol, dépendent "uniquement mais complètement" du nombre d’étages qu’il y aura au dessus, dans la pyramide.

     Pour en revenir à la question précise de cette énigme…

     Eh bien oui, il est possible de construire une telle tour de briques décalées. On peut voir que le calcul théorique nous dit même que cela peut être obtenu dès la quatrième brique qui débordera complètement d’une longueur de brique de la première. A la dixième, le débordement atteindra 2 longueurs de briques, etc… Mais plus l’édifice va monter et plus il faudra de hauteur pour obtenir un débordement d’une longueur de brique supplémentaire (la 3 ième serait atteinte vers le centième étage seulement).

     Cette technique extraordinaire de construction a été inventée et mise en pratique au XV ième siècle par un ingénieur /architecte italien de Florence : Filippo Brunelleschi. Sa technique de construction dite "en arrête de poisson" est illustrée par le dôme de la cathédrale de Florence, haut de 90 m et qui se referme sur lui-même par le haut sans aucun appui. Une oeuvre architecturale étonnante demeurée très longtemps "totalement incomprise et impossible à réaliser" d'après tous les constructeurs de son époque. Mais Brunelleshi avait un secret, il avait tout simplement appliqué une loi méconnue à l'époque : celle des séries harmoniques.

Aujourd'hui encore, il y a des élèves architectes italiens qui ne comprennent pas et admettent très difficilement comment peut tenir en place ce dôme de leur cathédrale à "Firenze".

Un mystère pourtant élucidé il n'y a pas si longtemps, grâce aux mathématiques complexes de ces séries harmoniques.